Milinković-Savić được sinh ra trong một gia đình thể thao ở Lleida, Catalonia.[1] Ở đó, Cha của Savić đó là ông Nikola Milinković[2] chơi bóng đá chuyên nghiệp vào thời điểm đó. Còn mẹ của Savić đó là bà Milana Savić là một cầu thủ bóng rổ chuyên nghiệp.

Milinković-Savić là anh trai của Vanja Milinković-Savić, cũng là một cầu thủ bóng đá nhưng chơi ở vị trí thủ môn cho một câu lạc bộ ở Ý Torino.[3]